智慧题二

求自然数的平方和。

解：利用立方差公式，展开、代入、两边全相加。

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

人照镜子时，要想使脸看得更清楚，是把脸对着亮光，还是把镜子对着亮光？

答：把脸对着亮光。因为人之所以看见物体，是因为光照到物体上然后反射到眼睛里。这里是光照到脸上，从脸上反射到镜子，又从镜子反射到眼睛。

在楼梯道安一盏灯，要在楼上、楼下分别安一个开关，自由控制，线路如何走？

答：两个单刀双掷的开关之间接两根线，电灯接在两个并联的开关之后。（两个单刀双掷的开关先并联，再与灯串联。）

一根绳子对折n次，再从中间剪断，一共有多少截？

答：2的n次方加1截。因为一边是2的n-1次方截，另一边是2的n-1次方加1截。 或者思考如下：先把绳子两头结起来，成为一个闭合的圈，再按要求对折，这样两边都是2的n-1次方截，最后把先前打的结解开就多了一截，所以总计是2的n次方加1截。

一根木头，一回抬一头称相加与抬中间称，结果一样重吗？

答：一样重。可以用两头分别抬起平衡后列式子运算证明。

   一个人带一筐菜、一只狼、一只羊过河，只有一条小船，一次只能带一样，而无人时狼吃羊，羊吃菜，当然狼不吃菜。怎样才能全部带过河？

答：先带羊，再带菜或狼，过去以后再把羊带回头，等到狼和菜全带过去以后，再回来把羊带过去。

启迪：有时做事、考虑问题要面向全体、考虑全局、思虑周全，照顾到每一方、每一个人的感受。

    草原上有一户人家共有3个儿子，共有19只羊，老父亲在临终时立下遗嘱：大儿子分二分之一，二儿子分四分之一，小儿子分五分之一，只准分整只的活羊，否则永远不准分家。多少年过去了，3个儿子一直无法安遗嘱分羊，所以一直未分家。一天一个外地人赶着一只羊经过这儿，天刚好黑了，就借宿在此家，了解了情况以后，就想出了办法帮3个儿子分好了羊，也就分好了家。他是如何分的？

答：他把自己的一只羊放在一起正好20只，大儿子分二分之一得10只，二儿子分四分之一得5只，小儿子分五分之一得4只，最后还剩一只正好是自己的。

启迪：舍己为人最高尚，但为人不舍己才最高明。